| 成果简介： |
流体力学中的偏微分方程是当今微分方程研究领域的重要内容。其中，关于Navier-Stokes(N-S)方程在三维空间中解的存在性和光滑性的问题在2000年被美国柯朗数学研究所列为七个“千禧年大奖难题”之一，同时被列为十八世纪流体力学领域的难题之一。其涡度场的方向紊乱性、非线性项的超临界性及压力项的非局部性，使其解的适定性问题的解决极其困难。当流体中存在电荷或电流时，流体的运动会受到电磁力的影响。同时，电磁场的变化也会影响流体的动力学行为。此时，描述流体中电流运动的麦克斯韦方程和电场中流体运动的N-S方程耦合产生Magnetohydrodynamic(MHD)方程组。另外，描述生物细胞在流体中的运动和相互作用形成了Keller-Segel方程。
该项目主要研究此几类抛物-双曲、抛物-抛物混合的流体力学模型解的适定性问题，着重解决解的整体正则性和稳态解附近扰动方程解的适定性及衰减性。具体研究结果如下：
1.对仅有水平耗散的三维N-S方程组，首次利用bootstrapping原理证明初值在负Sobolev空间时解的正则性。另外，由于缺乏垂直方向耗散，非线性效应显得异常复杂和困难，项目申请者和美国圣母大学吴家宏教授利用消去法以及不可压缩性得到稳定性和最优衰减速率。
2.对具有部分耗散的MHD方程组，首先处理了仅有垂直粘性，磁场仅有水平耗散的二维MHD方程，给出光滑解的稳定性及非线性方程组的衰减速率。进一步，对仅有广义磁扩散，无粘性的MHD方程，通过构造合适的Lyapunov函数以及利用特殊的波方程结构结合精细的谱分析得到方程解的最优衰减速率。之后，将二维MHD方程小解的整体适定性结果推广到磁微极流体力学方程组，研究了二维部分粘性的磁微极流体力学方程组的边值问题。
3.对具有完全对数源的拟线性抛物型Keller-Segel方程组，首次引入带有指数时间加权的Maximal Sobolev Regularity，这一想法突破了经典的估计技巧，对解做估计时，可以方便处理系统中的交叉扩散项，解除了耦合作用，得到关于只含有一个变量的不等式估计。该技巧可推广至各种不同类型的趋化模型，大大简化了原有的经典证明，也为趋化流体模型的数学理论研究提供了新的工具和视角。
该项目主要来源于3项国家自然科学基金，1项四川省科技计划项目。主要研究成果已在《J.Funct.Anal》、《J.Differential Equations》、《Sci.China Math》、《J.Math.Anal.Appl》等国内外学术期刊上发表，并受到国内外同行的广泛关注、引用和评价。
该项工作已获后续项目“国家自然科学基金面上项目(12371232)和微分方程四川省自然科学基金创新研究群体项目(2023NSFSC1984)”支持。 |
